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The research topics

1. Perdu en mer
Vous êtes perdu en mer, dans le brouillard, à 10 km exactement de la côte (rectiligne). Comment procéder pour être sur de trouver la côte en parcourant le moins de km possible.

2. Les ascenseurs
Dans une tour de 10 étages (0, 1, 2, … 10), vous devez mettre au point un algorithme de gestion des 4 ascenseurs qui minimise le temps d’attente des habitants. Dans un premier temps nous pourrons supposer que les personnes arrivent aléatoirement dans la journée pour commander un ascenseur.
- Il descend ou monte un étage en 3 secondes.
- Chaque arrêt à un étage dure 15 secondes.

3. Gonfler un triangle
ABC est un triangle, on note d la longueur du plus grand côté et G son centre de gravité. On définit le processus gonflage de la manière suivante :
E3 est le triangle ABC. On place le point M4 sur une demi-droite partant de G, le plus loin possiblede G et tel que la distance de M4 à chacun des points de E3 soit inférieure ou égale à d. E4 est le polygone convexe contenant E3 et M4. On fait tourner la demi-droite de 1° et on construit le point M5 sur cette nouvelle demi-droite de la même manière : être le plus loin de G et la distance de M5 à chaque point de E4 soit inférieure ou
égale à d. E5 est le polygone convexe contenant E4 et M5. Ainsi de suite.
Que peut-on dire sur E363 ?

4. Déplaçons des murs !
Soit un « mur », constitué d'une suite finie de « piles », chacune comprenant un nombre fini de « briques ». On considère la transformation consistant à retirer la première pile, et à distribuer ses briques sur les piles suivantes, à raison d'une brique sur le deuxième pile, deux sur la troisième, trois sur la quatrième, etc ; dans la limite du nombre de briques disponibles. Si toutes les piles préexistantes ont été parcourues avant d'avoir épuisé les briques contenues dans la première pile, on continue le processus en créant de nouvelles piles. Que peut-on dire sur ce processus, sur les différentes évolutions en fonctions de l'état initiale ?

5. Distance entre les mots
Nous avons un dictionnaire dont tous les mots ont 5 lettres parmi l'alphabet {A, B, C, D, E, F, G, H}. Par exemple : ABCAB ou BDEFG
On vous demande de définir une distance d entre deux mots de ce dictionnaire. Une distance est une application qui a tout couple de mot du dictionnaire associe un nombre réel positif et qui vérifie :
- Pour tout X et Y dans le dictionnaire, d(X,Y)=d(Y,X)
- Pour tout X et Y dans le dictionnaire, d(X,Y)=0 ⇔ X=Y
- Pour tout X, Y et Z dans le dictionnaire, d(X,Z)d(X,Y)+d(Y,Z)

6. Remplir des récipients
Trois récipients A, B et C ont des capacités respectives de 9, 5 et pi litres. Au départ, A contient 9 litres d'eau, B et C sont vides. On peut verser de l'eau d'un récipient X dans un récipient Y aux deux conditions suivantes :
1) on ne gaspille pas l'eau
2) après le versement, X est vide ou Y est plein.
Démontrer que pour tout epsilon>0, on peut, au bout d'un nombre fini de transvasements, obtenir dans un des récipients 1 litre d'eau à epsilon près.

7. Tour de carte
On part d'un tour de cartes... on ne garde dans un jeu de 32 ou de 52 que les as, 2, 3, 4, 5, et 6.
1. On mélange cet ensemble de 24 cartes et on les dispose sur une table de sorte qu'elles forment un cercle, une des cartes est
distinguée comme étant la première et on définit un sens de parcours du cercle.
2. Le "joueur" choisi mentalement une des 6 premières cartes, puis sélectionne une deuxième carte en se décalant dans l'ordre choisi de la valeur de la première, puis une troisième en se décalant de la valeur de la deuxième et ainsi de suite jusqu'à effectuer un tour et retomber dans les 6 première cartes, toujours mentalement.
3. Le "magicien" a alors deviné la carte d'arrivée.
Si on fait l'hypothèse que la magie n'existe pas, alors quelque soit la première carte choisie parmi les 6, la carte d'arrivée doit être la même ! à vous de voir.

8. Courbes réglées
Chaque côté d'un polygone régulier est divisé en n segments réguliers.Pour chaque côté consécutif, on construit les n segments [S1S'n], [S2S'n-1], [S3S'n-2] … Que peut-on dire de la figure dessinée par tous ces segments ?

9. Des écolo-systèmes
Un écolo-système est un ensemble de couples {(Ai; αi), 1 <= i <= n} ou Ai est un point du plan, αi un entier naturel correspondant au nombre d’aller-retours entre ce point et le point de depart. A chaque point de depart M du plan, on associe alors le trajet total T (M) correspondant a
l’ecolosysteme T(M)=Σαi×MAi (i=1,n).
Une solution pour l’ecolo-systeme est un point S tel que la fonction T soit minimale en S.
Resoudre un ecolo-systeme, c’est trouver l’ensemble des solutions à cet ecolo-systeme.
Tachez de trouver des résultats pour des écolo-système de 2 points puis de 3 points.

10. Etres le plus loin possible
Vous êtes dans une classe (rectangulaire) avec vos trois pires ennemies. Où devez-vous placer pour
être le plus loin d'eux.
La distance de eux à vous sera la somme des distances de chacun d'eux à vous.